بحث رياضيات 5 : "النهايات"

عدد المساهمات : 2 تاريخ التسجيل : 13/12/2014

رابط تحميل البحث :-

file:///E:/%D8%A8%D8%AD%D8%AB%20%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA5.docx

[size=48]بحث رياضيات5[/size]

[size=35]"النهايات"[/size]

[size=48]عمل الطالب[/size]

[size=35]"محمد ياسر حسني الرشيدي"[/size]

[size=48]الشعبة[/size]

[size=35]"الثالثة"[/size]

[size=48]إشراف المعلم[/size]

[size=35]"أ/ وحيد الزيادي"[/size]

بسم الله الرحمن الرحيم

مقدمة :

هذا بحث يعنى بشرح مفهوم النهايات ويهدف إلى شرحٍ مبسطٍ لقوانينها بالإضافة إلى بعض التطبيقات الرياضية والواقعية للنهايات ، وبإذن الله ستكون أقسام البحث بالترتيب التالي :-

1- مفهوم النهايات .

2- قوانين النهايات .

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

[size=35]مفهوم النهايات[/size]

النهايات Limits هو دراسة الدالة عندما تقترب من قيمة معينة دون الحاجة للوصول إليها ، فمثلا ... إن كانت قيمة الدالة f(x) تقترب من قيمة واحدة L كلما اقتربت قيمة x من c من الجهتين "أي عندما x→-∞,x→∞" ؛ فحينها يقال أن نهاية f(x) عند اقتراب x من c هي L، ونعبر عما سبق رياضيا بما يلي :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image002$

وتقرأ : نهاية الدالة f(x) عندما تقترب x من c هي L .

وفي المثال التالي سنقرب مفهوم النهايات أكثر :-

مثال1 / أوجد $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004$
حسب مفهوم النهايات ؛ فإنه علينا أن ندرس اقتراب قيمة x من 2 ، ونستعمل من أجل ذلك قيما أكبر من 2 وأخرى أصغر من 2 ، على أن تكون جميع القيم قريبة من 2 ، ونوجد قيمة الدالة عند كل قيمة .
والجدول التالي يوضح ما سبق :-

2.1	2.01	2.001	2	1.999	1.99	1.9	x
1.52	1.05	1.005		0.995	0.95	0.52	f(x)

بملاحظة القيم السابقة ، نجد أنه كلما اقتربت x من 2 تقترب قيمة الدالة من قيمة محددة هي 1 أي أن :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image006$

وهو المطلوب ...

[size=35]قوانين النهايات[/size]

بعد أن شرحنا مفهوم النهايات واقتراب قيمة الدالة من قيمة معينة ، يحق لنا أن نتساءل:
"هل توجد طريقة أخرى غير استعمال الجداول لحل مسائل النهايات ؟"
والحقيقة أن الإجابة هي : نعم ... دعونا نحسب f(2) في مثالنا السابق :

f(2)= 2(2)² – 3(2) -1=1

أي أن :
$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008$

إذن ... نستطيع أن نوجد نهاية دالة عند قيمة معينة بإيجاد قيمة الدالة لنفس تلك القيمة المعينة ، ولكن هذا ليس صحيحا دائما ، وسيتبين هذا في المثال التالي :-

مثال2 / أوجد : $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image010$

الحل :- نحاول إيجاد f(2) :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image012$

0/0 كمية غير معينة فلا يمكن إيجاد النهاية بطريقة إيجاد قيمة الدالة إن كانت تساوي كمية غير معينة ،،، ونستطيع أن نستخدم طريقتين لحل هذه المشكلة :-
الطريقة الأولى : سنفرض أن المتغير x أخذ قيمة تختلف عن العدد 2 بمقدار ضئيل h فتكون x=2+h وعندما h→0 ، فإن : x→2 ، أي أن :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image014$

أي أن :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image016$

الطريقة الثانية : نحلل العبارة الرياضية ، ثم نوجد f(2)

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image018$

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020$

وهو المطلوب ...
عند إيجاد نهاية دالة عند نقطة معينة x=z باستخدام التعويض فإن الناتج لا يخلو أن يكون :-
1- عددا حقيقيا ، فإن نهاية الدالة عند z هي هذا العدد الحقيقي .
2- أن يكون الناتج كمية غير معينة ، وفي هذه الحالة نضع x=z+h
3- أن يكون الناتج كمية غير معرفة " قسمة عدد لا يساوي الصفر على الصفر" ، هنا لا تكون للدالة نهاية عند z
بعد فهم الأساسيات السابقة ، سنعرض بعضا من النظريات الأساسية في النهايات وبعض نتائجها :
نظرية (1): نهاية دالة كثيرة الحدود :
إذا كانت f(x) كثيرة حدود في المتغير x فإن :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image022$

نتيجة (1): نهاية الدالة الثابتة (كثيرة حدود من الدرجة صفر) :

إذا كانت f(x)=b حيث b ثابت ، فإن :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image024$

[size=32]{انظر : مثال3[/size][size=32]}[/size]

نظرية (2): نهاية دالتين أو أكثر :

إذا كانت g(x),f(x) دالتان وكان :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026$ , $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image028$

فإن ما يلي صحيح :-

A) $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image030$

B) $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image032$

C) $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image034$

حيث R مقدار ثابت .

D) $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image036$

[size=32]{انظر : مثال 5}[/size]

نظرية (3): إيجاد نهاية دالة نسبية :

في المثال رقم 2 استعملنا طريقتين لحل المسألة ، وهذه النظرية تتحدث عن طريقة التحليل –أي الطريقة الثانية في حل تلك المسألة- بالضبط .

ولو تأملنا في المثال السابق في طريقة التحليل لوجدنا أننا تعاملنا مع دالتين :

1- الدالة الأصلية : f(x)= $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image038$

2- الدالة التي ظهرت بعد التحليل : g(x)= x+2

أي أن نهاية f(x) عندما x→2 تساوي نهاية g(x) عندما x→2 ، وهذه النظرية عامة لنهايات جميع الدوال النسبية عندما x→c حيث x-c عامل مشترك بين البسط والمقام .

[size=32]{انظر : مثال4}[/size]

نظرية (4) : "القانون" :

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image040$

R هي مجموعة الأعداد الحقيقية ، ولاستخدام هذه النظرية ... يجب أن يتحقق شرطان موضحان في القانون وهما :-

أولا : أن تكون الدالة على الصورة -أو يمكن وضعها على الصورة: $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image042$

ثانيا : أن يكون المطلوب إيجاد النهاية عندما $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image044$

نتيجة (2):

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image046$

[size=32]{انظر : مثال 5}[/size]

نظرية (5): نهاية الدالة عند اللانهاية :

المقصود بنهاية الدالة عند اللانهاية هو دراسة سلوك طرف التمثيل البياني للدالة عندما يكبر المتغير المستقل كبرا بلا حد ؛ وتوضح النظرية (5) كيف يمكننا حساب نهاية الدالة عند اللانهاية .

لو أردنا أن نسلك سلوك الدالة f(x)=1/x عندما تأخذ قيم x في الازدياد فإننا نكون الجدول التالي :-

...	10000	1000	100	10	1	x
...	0.0001	0.001	0.01	0.1	1	f(x)

مما سبق يتضح أن : f(x)→0 عندما x→∞، أي أن :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image048$ ، والمثال السابق يقودنا إلى النظرية التالية :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image050$

نتيجة (3) ، (4): إذا كانت $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image052$ فإن :

(3): $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image054$

(4): $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image056$

وتستخدم هذه النظرية ونتيجتاها لإيجاد $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image058$ عندما يعطي التعويض المباشر $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image060$ أ، ∞-∞ "وهما كميتان غير معينتين" .

مثال3 / أوجد $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image062$
الحل :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image064$
مثال4 / أوجد $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image066$
الحل :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image068$

مثال5 / أوجد $بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image070$

الحل :-

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image072$

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image074$

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image076$

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image078$

$بحث رياضيات 5 : "النهايات" C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image080$

طبعا ... كان هذا ما لدي في هذا البحث ، وموضوع النهايات موضوع طويل مديد وله دور كبير جدا في تحديد الاتصال والانفصال للدوال ويدخل في العديد من القوانين الفيزيائية ... وصلى الله وسلم وبارك على سيدنا محمد وعلى آله وصحبه أجمعين ، وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين .

-المصادر :-

1- رياضيات 5

2- رياضيات المعاصر للصف ثاني ثانوي – المنهج المصري .

عدد المساهمات : 2 تاريخ التسجيل : 13/12/2014

المعادلات والقوانين ما راح تظهر على المنتدى ... بس هي موجودة في الملف ،،، لذا يرجى تحميله لمطالعة البحث .

Admin عدد المساهمات : 10 تاريخ التسجيل : 05/12/2014

تم اعتماد البحث