الدوال المثلثية

في الرياضيات، الدوال المثلثية أو التوابع المثلثية هي دوال لزاوية هندسية. وهي دوال مهمة عندما يُراد دراسة مثلث أوعرض ظواهرِ دورية أو متكررة كالموجات. يمكن تعريف هذه الدوال نسبةً بين أضلاع مثلث قائم يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عمومية إحداثياتٍ على دائرة مثلثية أو دائرة واحدية. يعتبر دوما عند الإشارة إلى المثلثات أن الحديث يدور حول مثلث في سطح مستوي (مستوى إحداثي أو إقليدي)، وذلك ليكون مجموع الزوايا 180 درجة دائما.
الدوال المثلثية الأكثر انتشارا هي دالة الجيب (يرمز إليها ب Sin) ودالة الجيب التمام (يرمز إليها ب Cos) ودالة الظل (يرمز إليها ب Tg أو Tan).
التعريف باستعمال المثلث قائم الزاوية

توجد ثلاثة دوال مثلثية أساسية هي:
• الجيب، ويساوي النسبة بين الضلع المقابل للزاوية مقسوما على الوتر.
• جيب التمام، ويساوي النسبة بين الضلع المجاور للزاوية مقسوما على الوتر.
• الظل، ويساوي النسبية بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها.



اسم الدالة الاختصار الاختصار بالإنجليزية العلاقة
جيب جا sin
جيب تمام جتا cos
ظل ظا tan
ظل تمام
ظتا cot
Secant أو قاطع قا sec
Cosecant أو قاطع تمام قتا csc
التعريف باستعمال الدائرة الوحدة

دائرة الوحدة
يمكن أن تعرف الدوال المثلثية الستة بواسطة دائرة الوحدة (دائرة شعاعها يساوي الواحد ومركزها هو أصل المَعلم(
يمكن هذا التعريف من تعريف الدوال المثلثية بالنسبة لجميع الأعداد الموجبة والسالبة وليس فقط الأعداد المحصورة بين الصفر و π/2 راديان..
المتطابقات
هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. تعتبر متطابقة فيثاغورس واحدة من أكثر المتطابقات انتشارا واستعمالا. تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما، ومربع الجيب التمام لهذه الزاوية يساوي واحدا.

حيث يرمزsin2 x + cos2 x إلى (sin x)2 + (cos x)2.















الدوال العكسية
الدوال المثلثية دورية، وبذلك، هي ليست تباينية, وبالتالي ليس لديها دالة عكسية. لهذا السبب، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها من أجل تعريف دالة عكسية، حتى الدوال المثلثية دوالا تقابلية.
الدالة التعريف مجال التعريف






يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،




خصائص وتطبيقات
انظر إلى قانون جيب التمام.

وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:

تمثيل بياني لدالة جيب التمام






تمثيل بياني لدالة الجيب


الظل التمام لزاوية

ظل تمام الزاوية هو النسبة بين جيب التمام والجيب لنفس الزاوية أي مقلوب ظل الزاوية. يمكن التعبير عن ظل تمام الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

التظلل هو مقلوب الظل ويساوي المجاور على المقابل. مثال:

مثلا: طول الضلع [أج] =15 سنتمتر طول الضلع [أب] =10 سنتمتر طول الضلع [ج ب] (الوتر) =19 سنتمتر لحساب تظل(cot) الزاوية ب : المجاور [أب] / المقابل [أج] 10 / 15 = 0.66 إذن: تظل(cot) الزاوية ب هو: 0.66